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一、什么是不定方程

未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于獨(dú)立方程個(gè)數(shù)的等式，稱為不定方程。

二、不定方程求解方法

1.奇偶性

當(dāng)方程中未知數(shù)的系數(shù)一奇一偶時(shí)，可利用奇偶性求解。

奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)；偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)；

奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)；奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)

【例1】已知7x+4y=29，x、y為正整數(shù)，則x為( )。

A.5   B.4

C.2   D.6

【解析】A。4y為偶數(shù)，29為奇數(shù)，所以7x一定為奇數(shù)，所以x為奇數(shù)，故選擇A選項(xiàng)。

2.整除法

當(dāng)方程中的常數(shù)與其中一個(gè)未知數(shù)前系數(shù)有非1的公約數(shù)時(shí)，可以利用整除法求解。

【例2】已知3x+7y=33，x，y均為正整數(shù)，則y為( )

A.11   B.10

C.9   D.8

【解析】C。根據(jù)題干所給信息，求不定方程中未知數(shù)y 的可能性取值，常數(shù)33與x前系數(shù)3有公約數(shù)3，考慮使用整除法。3x與33均為3的倍數(shù)，則說明7y一定也是3的倍數(shù)，又因?yàn)?不是3的倍數(shù)，則說明y一定是3的倍數(shù)。選項(xiàng)中只有y取9時(shí)符合題意，故選擇C選項(xiàng)。

3.尾數(shù)法

當(dāng)方程中未知數(shù)的系數(shù)出現(xiàn)以0或5結(jié)尾時(shí)，可以考慮尾數(shù)法。(一個(gè)數(shù)乘以尾數(shù)為5的數(shù)，結(jié)果的尾數(shù)要么是0要么是5，一個(gè)數(shù)乘以尾數(shù)為0的數(shù)，結(jié)果的尾數(shù)一定是0)

【例3】3x+10y=41，且x和y都是整數(shù)，那么請(qǐng)問x可能是以下哪個(gè)數(shù)據(jù)？

A.3   B.5

C.7   D.9

【解析】C。根據(jù)題干信息，未知數(shù)y前系數(shù)為10，可以考慮使用尾數(shù)法。10y這一部分尾數(shù)一定是0，41的尾數(shù)是1，那么3x這一部分的尾數(shù)一定是1，在所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有當(dāng)x=7時(shí)，3×7=21，尾數(shù)為1，符合題意，故選擇C選項(xiàng)。

不定方程的解是有無數(shù)組的，只能確定其中一個(gè)未知數(shù)的值，另外一個(gè)未知數(shù)才可以求出來，我們用的解題方法都是根據(jù)題目特點(diǎn)去限制未知數(shù)的范圍，選出符合題意的正確結(jié)果。因此在一些題目里也會(huì)將多種方法結(jié)合在一起去求解。通過下面的例題我們一起學(xué)一學(xué)：

【例4】已知6x+5y=41，x、y為正整數(shù)，則x為( )

A.3   B.4

C.5   D.6

【解析】D。6x為偶數(shù)，41為奇數(shù)，所以5y一定為奇數(shù)，所以y為奇數(shù)，當(dāng)y為奇數(shù)時(shí)，5y尾數(shù)為5，41的尾數(shù)為1，則6x尾數(shù)為6，只有D選項(xiàng)，乘6以后的尾數(shù)為6，故選擇D選項(xiàng)。

方程作為常用的解題方法，各位考生一定要學(xué)會(huì)應(yīng)用，使用各類方法時(shí)，一定要注意其應(yīng)用的條件，做到靈活使用。